Legendre Transform

定义 Definition

Legendre transform（勒让德变换）是一种把一个函数从“以某个变量为自变量”的描述，转换为“以该变量的共轭变量（通常是导数/斜率）为自变量”的方法。它常用于把能量函数在不同自然变量之间互相转换，例如在物理中的拉格朗日量与哈密顿量、以及热力学势之间的变换。（在凸分析中通常要求函数满足凸性等条件以保证变换良好。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ləˈʒɑːndr̩ ˈtrænsfɔːrm/

例句 Examples

The Legendre transform converts a function of position into a function of momentum.
勒让德变换可以把以位置为自变量的函数转换为以动量为自变量的函数。

In thermodynamics, the Legendre transform is used to switch from internal energy (U(S,V)) to enthalpy (H(S,P)) by replacing volume with pressure as a natural variable.
在热力学中，勒让德变换可用于把内能 (U(S,V)) 转换为焓 (H(S,P))，通过用压力替代体积作为自然变量来完成变量的切换。

词源 Etymology

Legendre来自法国数学家 Adrien‑Marie Legendre（勒让德）的姓氏；transform源自拉丁语 transformare，意为“改变形状/转变”。该术语用于纪念勒让德在数学（尤其与多项式、变换思想相关）中的贡献，而“变换”强调其将函数表示从一组变量转换到另一组变量的核心思想。

相关词 Related Words

• Conjugate
• Convex
• Dual
• Hamiltonian
• Lagrangian
• Thermodynamics

文学与经典著作 Literary Works

• Herbert Goldstein, Classical Mechanics（《经典力学》）：在从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导中使用勒让德变换。
• R. K. Pathria & Paul D. Beale, Statistical Mechanics（《统计力学》）：讨论热力学势与自然变量转换时涉及勒让德变换思想。
• R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis（《凸分析》）：在凸分析与对偶理论中系统阐述（与之紧密相关的）勒让德/芬歇尔变换框架。